paradox und doch vernünftig

Hotel Unendlichkeit

oder Hilberts Hotel

In diesem Artikel geht es nicht um ein Paradoxon, aber um etwas, was vielen Menschen paradox erscheint. Außerdem ist es ein gelungenes Beispiel dafür, wie man abstrakte mathematische Ideen häufig auch für Laien sehr einleuchtend veranschaulichen kann.
Dem Mathematiker Hilbert gelang eine interessante Veranschaulichung des Begriffs Unendlichkeit:

Man stelle sich ein Hotel mit einer unendlichen Anzahl von Zimmern vor. Eines Tages kommt ein neuer Gast anund erfährt zu seiner Verwunderung, dass das Hotel trotz seiner unendlichen Größe ausgebucht ist. Aber Hilbert als Empfangschef hat natürlich sofort eine Lösung. Er bittet jeden seiner Gäste in den jeweils nächsten Raum umzuziehen. Also der Gast in Zimmer 1 zieht in Zimmer 2, der von Zimmer 2 in Zimmer 3 und so weiter. So erhält er eine freies Zimmer für den neuen Gast, nämlich Zimmer 1.

Eines Nachts erscheinen jedoch gleichzeitig unendlich viele Gäste. Ein auf den ersten Blick für viele scheinbar unlösbares Problem. Aber für einen berühmten Mathematiker wie Hilbert natürlich keineswegs eine Herausforderung. Wiederum bittet er seine Hotelgäste umzuziehen, diesmal soll jeder in den Raum ziehen, der eine Raumnummer hat, die zweimal so hoch wie seine bisherige ist. Also der von Zimmer 1 zieht in 2, der von 2 in 4 und der von 3 in 6. Anschließend sind alle Räume mit gerader Nummer belegt, während die mit ungerader Zimmernummer frei sind. Da es unendlich viele Räume mit ungeraden Zimmernummern gibt, hat er genügend Platz für seine neuen Gäste.

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